Lineare Algebra Beispiele

$20 - 21 i$

Schritt 1

Berechne den Abstand von $(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{20^{2} + {(- 21)}^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{20^{2} + {(- 21)}^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$r = \sqrt{400 + {(- 21)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $- 21$ mit $2$ .

$r = \sqrt{400 + 441}$

Schritt 2.3

Addiere $400$ und $441$ .

$r = \sqrt{841}$

Schritt 2.4

Schreibe $841$ als $29^{2}$ um.

$r = \sqrt{29^{2}}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 29$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 21}{20} |)$

Schritt 4

Vereinfache $\arctan (| \frac{- 21}{20} |)$ .

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ̂ = \arctan (| - \frac{21}{20} |)$

Schritt 4.2

$- \frac{21}{20}$ ist ungefähr $- 1.05$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{21}{20}$ um und entferne den Absolutwert

$θ̂ = \arctan (\frac{21}{20})$

Schritt 4.3

Berechne $\arctan (\frac{21}{20})$ .

$θ̂ = 0.80978357$

Schritt 5

Der Punkt liegt im vierten Quadranten, da $x$ positiv und $y$ negativ ist. Die Quadranten sind gegen den Uhrzeigersinn gekennzeichnet, beginnend oben rechts.

Quadrant $4$

Schritt 6

$(a, b)$ ist im vierten Quadranten. $θ = - θ̂$

$θ = - 0.80978357$

Schritt 7

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 8

Setze $r$ , $n$ und $θ$ in die Formel ein.

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Schritt 8.1

Kombiniere ${(29)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{(- 0.80978357) + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)}{2}$

Schritt 8.2

Kombiniere $c$ und $\frac{{(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))}{2}$

Schritt 8.3

Kombiniere $i$ und $\frac{c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)))}{2}$

Schritt 8.4

Kombiniere $s$ und $\frac{i (c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))))}{2}$

Schritt 8.5

Entferne die Klammern.

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Schritt 8.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (29^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))))}{2}$

Schritt 8.5.2

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k))))}{2}$

Schritt 8.5.3

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k)))}{2}$

Schritt 8.5.4

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 29^{\frac{1}{2}}) (- 0.80978357 + 2 π k))}{2}$

Schritt 8.5.5

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k))}{2}$

Schritt 8.5.6

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 29^{\frac{1}{2}}) (- 0.80978357 + 2 π k)}{2}$

Schritt 8.5.7

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c) \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k)}{2}$

Schritt 8.5.8

Entferne die Klammern.

$\frac{s i c \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k)}{2}$

Schritt 9

Ersetze $k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(- 0.80978357) + 2 π (0)}{2})$

Schritt 9.2

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357 + 0 π}{2})$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357 + 0}{2})$

Schritt 9.3

Addiere $- 0.80978357$ und $0$ .

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357}{2})$

Schritt 9.4

Dividiere $- 0.80978357$ durch $2$ .

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot - 0.40489178$

Schritt 9.5

Multipliziere $29^{\frac{1}{2}} c i s$ mit $- 0.40489178$ .

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (- 0.40489178)$

Schritt 10

Ersetze $k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(- 0.80978357) + 2 π (1)}{2})$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357 + 2 π}{2})$

Schritt 10.3

Addiere $- 0.80978357$ und $2 π$ .

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5.47340173}{2})$

Schritt 10.4

Dividiere $5.47340173$ durch $2$ .

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 2.73670086$

Schritt 10.5

Multipliziere $29^{\frac{1}{2}} c i s$ mit $2.73670086$ .

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (2.73670086)$

Schritt 11

Liste die Lösungen auf.

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (- 0.40489178)$

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (2.73670086)$